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이 글의 목적은 백터v 위로 백터u를 투영하는 것에 대한 방법을 살펴보는 것입니다.

위 그림에서 백터puv는 백터v 위에 백터u를 투영한 것입니다. 그림에서 보면 알 수 있듯이, v와 puv는 평행하므로 puv는 다음처럼 정의될 수 있습니다. 물론 여기서 백터v는 크기가 1인 단위백터입니다.

여기서 |puv|는 puv의 길이입니다. |puv|를 알아내는 것이 곧 백터puv를 알아내는 것 입니다. 백터u와 백터puv의 길이 사이의 관계는 이 두 백터가 이루는 코사인 각입니다.

내적(Dot Product)의 정의는 다음과 같습니다.

위의 정의로부터, 백터puv의 길이는 다음과 같습니다.

결국, 이 글의 가장 처음에 언급한 공식으로부터 위의 식을 대입하면 다음과 같은 puv를 얻을 수 있습니다.

두 개의 벡터에 대한 내적의 연산 결과는 스칼라 값입니다. 두 벡터 사이의 코사인값을 얻는 것은 간단합니다. 아래의 식은 두 벡터 v1, v2에 대한 내적 v를 계산하기 위한 필요한 단계를 보여주고 있습니다. 내적의 연산은 일반적으로 ‘ ∙ ‘ 로 표시합니다.

벡터 v1과 v2 사이의 각도로 표시하는 방법으로 하면 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

위의 식으로부터 우리는 두 벡터중에 하나라도 크기가 0이면 내적 역시 0이 된다는 것을 알 수 있으며 두 벡터가 수직(90도)일 경우도 내적이 0이라는 것을 알 수 있습니다. 아래는 내적에 대한 몇가지 성질입니다. 즉, 교환법칙과 분배법칙 모두 성립한다는 것입니다.